평균·중앙값·최빈값은 서로 다른 중심을 말합니다

2023년 07월 31일
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어느 회사가 채용설명회에서 다음과 같이 홍보했다고 하자.

우리 회사 직원의 평균 연봉은 약 8,800만 원입니다.

이 문장만 보면 상당수 직원이 8,800만 원 안팎의 연봉을 받는 것처럼 느껴진다. 하지만 직원 9명의 연봉이 다음과 같다면 이야기는 달라진다. 단위는 만 원이다.

직원	연봉
1	3,000
2	3,200
3	3,300
4	3,400
5	3,500
6	3,600
7	3,700
8	3,800
9	50,000

이 자료의 평균은 약 8,833만 원이다. 그러나 연봉순으로 직원을 세웠을 때 가운데 있는 직원의 연봉은 3,500만 원이다.

평균은 약 8,833만 원이고 중앙값은 3,500만 원이다. 어느 숫자가 맞을까?

둘 다 맞다. 다만 두 숫자가 설명하는 대상이 다르다.

평균은 모든 직원의 연봉을 합한 뒤 직원 수로 나눈 값이다. 중앙값은 직원들을 연봉순으로 세웠을 때 한가운데 위치한 값이다. 최빈값은 가장 자주 반복해서 나타나는 연봉이다.

평균, 중앙값, 최빈값은 모두 데이터의 중심을 나타내는 대표값이다. 하지만 이들이 말하는 ‘중심’은 서로 다르다. 자료의 분포가 대칭적이면 세 값이 비슷하게 나타날 수 있지만, 극단값이나 비대칭성이 존재하면 큰 차이가 발생한다.

따라서 대표값을 계산하기 전에 먼저 물어야 한다.

이 자료에서 내가 알고 싶은 중심은 무엇인가?

중심경향은 데이터를 하나의 값으로 요약한다

수십 명의 시험 점수나 수만 명의 구매금액을 원자료 그대로 제시하면 전체적인 특성을 파악하기 어렵다. 이때 자료가 대체로 어느 위치에 모여 있는지를 하나의 값으로 요약한 것을 중심경향이라고 한다.

대표적인 중심경향 측도는 다음 세 가지다.

평균
중앙값
최빈값

세 값은 서로 경쟁하는 통계량이 아니다. 연구 질문과 자료의 성격에 따라 서로 다른 정보를 제공한다.

Manikandan(2011a, 2011b)은 평균, 중앙값과 최빈값이 모두 중심을 나타내지만 자료의 척도와 분포에 따라 적절한 선택이 달라진다고 설명한다. McCluskey와 Lalkhen(2007)도 중심경향은 산포와 함께 해석해야 하며, 하나의 대표값만으로 자료의 전체 모습을 판단해서는 안 된다고 강조한다.

평균은 모든 관측값을 반영한다

일상에서 ‘평균’이라고 말할 때는 대체로 산술평균을 뜻한다.

표본에 \(n\)개의 관측값이 있을 때 산술평균은 다음과 같이 계산한다.

\[
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}
\]

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

\(x_i\): 각각의 관측값
\(n\): 관측값의 개수
\(\bar{x}\): 표본평균

시험 점수가 70점, 80점, 90점이라면 평균은 다음과 같다.

\[
\bar{x}=\frac{70+80+90}{3}=80
\]

평균은 모든 관측값을 계산에 포함한다. 70점이 71점으로 바뀌어도 평균이 달라지고, 90점이 100점으로 바뀌어도 평균이 달라진다.

이 특성은 평균의 가장 중요한 장점이면서 동시에 약점이다.

평균은 자료의 균형점이다

각 관측값에서 평균을 뺀 편차를 모두 더하면 0이 된다.

\[
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0
\]

70점, 80점, 90점의 평균은 80점이다.

평균으로부터의 편차는 각각 -10점, 0점, 10점이므로 합은 0이다.

\[
(70-80)+(80-80)+(90-80)=0
\]

평균보다 작은 값의 음의 편차와 평균보다 큰 값의 양의 편차가 서로 상쇄된다. 이러한 의미에서 평균은 데이터의 무게중심과 비슷하다.

평균은 제곱거리의 합을 가장 작게 만든다

평균은 관측값과 하나의 기준값 사이의 제곱거리 합을 가장 작게 만드는 값이다.

임의의 기준값을 \(a\)라고 하면 모든 \(a\)에 대해 다음 관계가 성립한다.

\[
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\leq\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2
\]

이 수식은 평균을 기준으로 계산한 제곱거리의 합이 다른 값을 기준으로 계산한 제곱거리의 합보다 작거나 같다는 뜻이다.

이 성질은 최소제곱법과 연결된다. 선형회귀분석에서 관측값과 예측값 사이의 제곱오차 합을 최소화하는 이유도 평균의 이러한 특성과 관련이 있다(Wasserman, 2004).

평균을 알면 전체 합계를 계산할 수 있다

평균은 전체 합계와 직접 연결된다.

\[
\sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}
\]

직원 100명의 평균 월급이 400만 원이라면 전체 월 급여는 다음과 같다.

\[
100\times400=40000
\]

즉, 전체 월 급여는 4억 원이다.

병원의 평균 진료비, 고객의 평균 구매금액, 공장의 평균 생산량처럼 총비용이나 총수요를 계산해야 하는 문제에서는 평균이 매우 중요하다.

자료가 치우쳐 있다는 이유만으로 평균을 무조건 사용하지 않는 것도 적절하지 않다. 분석의 목적이 총합을 추정하는 것이라면 중앙값보다 평균이 더 직접적인 정보를 제공할 수 있다.

중앙값은 순서상의 한가운데를 나타낸다

중앙값은 관측값을 크기순으로 정렬했을 때 한가운데에 위치하는 값이다.

다음 다섯 개의 값이 있다고 하자.

3, 5, 7, 9, 20

관측값이 5개이므로 가운데에 있는 세 번째 값 7이 중앙값이다.

\[
M=7
\]

여기서 \(M\)은 중앙값을 뜻한다.

관측값의 개수가 홀수라면 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값이다.

\[
M=x_{(n+1)/2}
\]

관측값의 개수가 짝수라면 가운데 두 값의 평균을 사용한다.

다음 네 개의 값을 살펴보자.

3, 5, 7, 20

가운데에 있는 값은 5와 7이므로 중앙값은 다음과 같다.

\[
M=\frac{5+7}{2}=6
\]

일반식은 다음과 같다.

\[
M=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}
\]

위 수식에서 \(x_{(k)}\)는 자료를 작은 값부터 정렬했을 때 \(k\)번째 값을 의미한다.

중앙값은 자료를 절반으로 나눈다

중앙값은 단순히 가운데 관측값을 찾는 통계량이 아니다. 자료의 위치를 절반으로 나누는 기준이다.

일반적으로 자료의 절반 정도는 중앙값 이하에 있고, 나머지 절반 정도는 중앙값 이상에 있다. 이러한 의미에서 중앙값은 50번째 백분위수와 연결된다.

다만 표본 분위수를 계산하는 세부 방식은 통계 프로그램마다 다를 수 있다. 표본크기가 작거나 사분위수를 계산할 때는 보간방법에 따라 결과가 조금 달라질 수 있다(Hyndman & Fan, 1996).

중앙값은 절댓값 거리의 합을 가장 작게 만든다

평균이 제곱거리의 합을 최소화한다면 중앙값은 절댓값 거리의 합을 최소화한다.

임의의 기준값을 \(a\)라고 하면 다음 관계가 성립한다.

\[
\sum_{i=1}^{n}|x_i-M|\leq\sum_{i=1}^{n}|x_i-a|
\]

이는 중앙값을 기준으로 계산한 절대거리의 합이 다른 기준값을 사용했을 때보다 작거나 같다는 뜻이다.

따라서 오차의 절댓값을 중요하게 평가하는 문제에서는 중앙값이 자연스러운 중심이 된다.

예를 들어 하나의 직선도로에 여러 고객이 살고 있고, 모든 고객과의 총 이동거리를 최소화할 배송거점을 정하려 한다면 고객 위치의 중앙값이 중요한 기준이 될 수 있다.

최빈값은 가장 자주 나타난 값이다

최빈값은 자료에서 가장 빈번하게 관찰된 값이다.

다음은 어느 신발 매장의 판매 사이즈다.

240, 245, 245, 250, 250, 250, 255, 255, 260

각 사이즈의 빈도를 표로 정리하면 다음과 같다.

신발 사이즈	판매 빈도
240	1
245	2
250	3
255	2
260	1

250이 세 번으로 가장 많이 나타났으므로 최빈값은 250이다.

최빈값은 평균이나 중앙값과 달리 수치형 자료뿐 아니라 명목형 자료에도 적용할 수 있다.

예를 들어 다음과 같은 질문에는 최빈값이 적절하다.

가장 많이 사용된 결제수단은 무엇인가?
가장 많이 선택된 제품 색상은 무엇인가?
가장 흔한 혈액형은 무엇인가?
가장 많이 판매된 신발 사이즈는 무엇인가?
가장 자주 발생한 불량유형은 무엇인가?

결제수단에 평균을 계산하는 것은 의미가 없지만, 가장 많이 선택된 결제수단을 찾는 것은 충분히 의미가 있다.

최빈값은 여러 개일 수 있다

다음 자료를 살펴보자.

1, 1, 2, 2, 3

1과 2가 각각 두 번씩 나타났다. 따라서 최빈값은 1과 2로 두 개다.

분포에 봉우리가 두 개 있다면 이봉분포라고 부를 수 있다. 세 개 이상의 값이 같은 최대빈도를 가진다면 최빈값도 세 개 이상 존재할 수 있다.

모든 관측값이 한 번씩만 나타나는 경우에는 가장 자주 나타난 고유한 값이 없다. 이때 실무에서는 “고유한 최빈값이 없다”고 표현하는 것이 이해하기 쉽다.

연속형 자료의 최빈값은 측정단위에 따라 달라질 수 있다

키, 체중, 소득처럼 연속적인 자료에서는 정확히 같은 값이 반복되지 않을 수 있다.

키를 1cm 단위로 측정하면 170cm가 여러 번 나올 수 있지만, 0.01cm 단위로 측정하면 동일한 값이 반복될 가능성이 작아진다.

연속형 자료에서는 히스토그램에서 가장 높은 구간이나 밀도곡선에서 가장 높은 지점을 최빈값처럼 해석할 수 있다.

그러나 히스토그램은 구간 폭을 어떻게 설정하느냐에 따라 모양이 달라질 수 있다. 구간이 지나치게 넓으면 중요한 봉우리가 사라지고, 지나치게 좁으면 우연한 변동이 여러 봉우리처럼 보일 수 있다(Scott, 1979; Freedman & Diaconis, 1981).

따라서 연속형 자료의 최빈값은 평균이나 중앙값보다 추정이 불안정할 수 있다.

같은 자료에서도 세 대표값은 다르게 나타난다

앞에서 살펴본 직원 연봉자료를 다시 보자. 단위는 만 원이다.

3000, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700, 3800, 50000

평균은 다음과 같다.

\[
\bar{x}=\frac{3000+3200+3300+3400+3500+3600+3700+3800+50000}{9}
\]

\[
\bar{x}\approx8833.3
\]

평균 연봉은 약 8,833만 원이다.

중앙값은 다섯 번째 값인 3,500만 원이다.

\[
M=3500
\]

모든 연봉이 한 번씩만 나타났으므로 고유한 최빈값은 없다.

대표값	결과	의미
평균	약 8,833만 원	전체 급여 총액을 직원 수로 나눈 값
중앙값	3,500만 원	연봉순으로 세웠을 때 가운데 직원의 연봉
최빈값	고유한 값 없음	가장 자주 반복된 연봉이 없음

전체 인건비를 계산하려면 평균이 필요하다. 일반적인 직원이 어느 정도의 연봉을 받는지 설명하려면 중앙값이 더 직관적이다.

평균이 틀리고 중앙값이 맞는 것이 아니다. 두 통계량이 답하는 질문이 다르다.

이상값은 평균과 중앙값에 다르게 작용한다

다음 다섯 개의 값을 살펴보자.

10, 11, 12, 13, 14

평균과 중앙값은 모두 12다.

\[
\bar{x}=12
\]

\[
M=12
\]

마지막 값 14를 1,000으로 바꾸어보자.

10, 11, 12, 13, 1000

새로운 평균은 다음과 같다.

\[
\bar{x}=\frac{10+11+12+13+1000}{5}=209.2
\]

중앙값은 여전히 12다.

\[
M=12
\]

극단값 하나가 평균을 12에서 209.2로 크게 변화시켰지만 중앙값은 바뀌지 않았다.

평균은 모든 관측값의 크기를 직접 반영하므로 극단값에 민감하다. 중앙값은 값의 크기보다 순서에 의존하므로 극단값에 상대적으로 덜 민감하다.

이러한 특성을 통계에서는 강건성이라고 한다(Huber & Ronchetti, 2009). Leys 등(2013)은 이상값이 존재하는 자료에서 평균과 표준편차만으로 중심과 산포를 판단하면 결과가 왜곡될 수 있으며, 중앙값과 중앙절대편차 같은 강건한 지표를 함께 고려할 필요가 있다고 설명한다.

극단값은 무조건 삭제하면 안 된다

극단값이 평균에 큰 영향을 미친다고 해서 자동으로 삭제해서는 안 된다.

극단값은 다음과 같은 이유로 발생할 수 있다.

입력 오류
측정 오류
서로 다른 단위의 혼용
실제로 매우 드문 사례
다른 모집단에 속하는 관측값
중요한 사업적 사건

예를 들어 고객 한 명이 다른 고객보다 100배 많은 금액을 구매했다면 입력 오류일 수도 있지만 실제 핵심고객일 수도 있다.

극단값을 삭제하기 전에 원자료와 측정과정을 확인해야 한다. 실제 관측값이라면 평균과 중앙값을 함께 제시하거나 강건한 분석방법을 사용하는 것이 더 적절할 수 있다.

중앙값도 자료의 모든 특징을 보여주지는 않는다

중앙값은 극단값에 강하지만 상위 또는 하위 꼬리의 크기 변화에는 둔감하다.

다음 두 자료를 비교해 보자.

A: 10, 11, 12, 13, 100
B: 10, 11, 12, 13, 10000

두 자료의 중앙값은 모두 12다.

그러나 마지막 관측값은 100과 10,000으로 크게 다르다. 중앙값만 제시하면 이러한 차이는 드러나지 않는다.

보험금 지급액, 의료비, 기업 손실액이나 고객생애가치처럼 큰 관측값이 총비용에 실질적인 영향을 미치는 자료에서는 평균도 중요한 의미를 가진다.

중앙값이 극단값을 제거하는 것은 아니다. 극단값의 크기 변화에 덜 반응할 뿐이다.

분포의 모양에 따라 대표값의 관계가 달라진다

평균, 중앙값과 최빈값은 자료의 분포가 대칭적인지, 한쪽으로 치우쳐 있는지에 따라 서로 다른 위치에 나타난다.

대칭적인 분포

정규분포처럼 좌우가 대칭이고 봉우리가 하나인 분포에서는 이론적으로 평균, 중앙값과 최빈값이 같은 위치에 있다.

\[
\bar{x}=M=\text{최빈값}
\]

다만 실제 표본에서는 표본오차 때문에 세 값이 완전히 일치하지 않을 수 있다.

오른쪽으로 치우친 분포

소득, 자산, 진료비, 구매금액과 대기시간에는 낮거나 중간 정도의 값이 많고 매우 큰 값이 일부 존재할 수 있다.

이처럼 오른쪽 꼬리가 긴 분포에서는 큰 값들이 평균을 오른쪽으로 끌어당기므로 평균이 중앙값보다 커지는 경우가 많다.

\[
\bar{x}>M
\]

왼쪽으로 치우친 분포

매우 쉬운 시험에서는 대부분의 학생이 높은 점수를 받고 일부 학생만 낮은 점수를 받을 수 있다.

이처럼 왼쪽 꼬리가 긴 분포에서는 낮은 값들이 평균을 왼쪽으로 끌어당기므로 평균이 중앙값보다 작아지는 경우가 많다.

\[
\bar{x}<M
\]

Altman과 Bland(1996)는 평균과 중앙값의 차이를 자료의 비대칭성을 파악하는 단서로 활용할 수 있다고 설명한다.

그러나 다음과 같은 관계를 모든 자료에 적용해서는 안 된다.

오른쪽으로 치우치면 최빈값, 중앙값, 평균의 순서가 된다.

왼쪽으로 치우치면 평균, 중앙값, 최빈값의 순서가 된다.

이러한 순서는 특정한 단봉분포에서 자주 나타나는 경향일 뿐 보편적인 법칙은 아니다. 분포에 봉우리가 여러 개 있거나 모양이 불규칙하면 순서가 달라질 수 있다(von Hippel, 2005).

분포의 모양은 대표값의 순서만으로 판단하지 말고 히스토그램, 상자그림과 분위수를 함께 확인해야 한다.

평균은 정규분포에서만 사용할 수 있는가

평균을 계산하기 위해 자료가 정규분포를 따라야 하는 것은 아니다.

평균은 수치형 자료라면 분포의 모양과 관계없이 계산할 수 있다. 오른쪽으로 치우친 소득자료에도 평균을 계산할 수 있고, 대기시간이나 구매금액에도 평균을 계산할 수 있다.

정규성 문제는 다음 질문과 관련된다.

평균이 전형적인 관측값을 잘 나타내는가?
표본평균에 관한 추론방법이 적절한가?
회귀모형의 오차에 관한 가정이 적절한가?
표본크기가 충분한가?
이상값이 추정결과를 지나치게 좌우하지 않는가?

“정규분포가 아니므로 평균을 계산하면 안 된다”는 표현은 정확하지 않다.

보다 적절한 질문은 다음과 같다.

이 자료에서 평균이 연구 목적에 맞는 대표값인가?

평균과 중앙값 가운데 무엇을 선택해야 할까

대표값은 기계적인 규칙보다 연구 질문에 따라 선택해야 한다.

평균이 유용한 경우

평균은 다음과 같은 상황에서 유용하다.

모든 관측값의 크기를 반영해야 한다.
전체 합계나 총비용과 연결해야 한다.
자료가 비교적 대칭적이다.
극단값의 영향이 지나치게 크지 않다.
평균 차이 자체가 연구 질문이다.
제곱오차를 기준으로 예측을 평가한다.

예를 들어 전체 인건비, 고객 1인당 평균 매출, 평균 생산량과 평균 시험점수를 계산할 때 평균은 자연스럽다.

중앙값이 유용한 경우

중앙값은 다음과 같은 상황에서 유용하다.

자료가 심하게 치우쳐 있다.
극단값이 존재한다.
전형적인 관측대상의 위치가 중요하다.
서열형 자료를 요약한다.
열린 구간이 있는 자료를 다룬다.
절대오차를 중요하게 평가한다.

주택가격에서는 일부 초고가 주택이 평균가격을 크게 높일 수 있다. 일반적인 주택의 가격수준을 설명하려면 중앙값이 더 직관적일 수 있다.

하지만 지역 전체 주택자산의 규모를 계산하려면 평균가격과 주택 수가 필요하다. 같은 자료에서도 질문에 따라 적절한 대표값이 달라진다.

최빈값이 유용한 경우

최빈값은 다음과 같은 상황에서 유용하다.

가장 흔한 범주가 중요하다.
명목형 자료를 요약한다.
재고규격을 결정한다.
고객의 가장 일반적인 선택을 파악한다.
분포의 봉우리 구조를 확인한다.

신발 매장에서는 평균 신발 사이즈보다 가장 많이 판매된 사이즈가 재고관리에 더 직접적인 정보를 제공할 수 있다.

대표값은 산포와 함께 제시해야 한다

평균이 같다고 해서 두 집단의 분포가 같은 것은 아니다.

다음 두 학급의 점수를 비교해 보자.

A반: 78, 79, 80, 80, 81, 82
B반: 50, 60, 70, 90, 100, 110

두 집단의 평균은 모두 80점이다.

하지만 A반의 점수는 평균 주변에 밀집해 있고, B반의 점수는 넓게 퍼져 있다.

평균 하나만 제시하면 이러한 차이를 알 수 없다.

대표값은 다음과 같은 산포지표와 함께 보고해야 한다.

대표값	함께 제시할 수 있는 산포지표
평균	표준편차, 범위, 신뢰구간
중앙값	사분위범위, 범위, 분위수
최빈값	범주별 빈도와 비율

자료가 비교적 대칭적이면 평균과 표준편차가 유용하다. 자료가 심하게 치우치거나 극단값이 많다면 중앙값과 사분위범위가 중심부를 설명하는 데 도움이 된다.

그러나 이 역시 절대적인 규칙은 아니다. 분석 목적에 따라 평균과 중앙값을 함께 제시하는 것이 가장 투명할 수 있다.

Rousseeuw와 Croux(1993)는 중앙절대편차를 비롯한 강건한 산포지표가 극단값이 존재하는 자료에서 유용할 수 있음을 보여준다.

최빈값 하나만 보고 시장을 판단하면 안 된다

어느 신발 매장의 사이즈별 판매량이 다음과 같다고 하자.

사이즈	판매량
240	20
245	35
250	50
255	48
260	18

최빈값은 250이다. 그러나 255의 판매량도 48개로 거의 같다.

최빈값만 보고 250 사이즈에 재고를 과도하게 집중하면 255 사이즈의 수요를 놓칠 수 있다.

다음처럼 두 개의 봉우리가 존재하는 자료에서는 하나의 대표값보다 분포 자체가 더 중요하다.

사이즈	판매량
230	40
235	55
240	30
265	32
270	54
275	38

이 자료에는 235와 270 부근에 서로 다른 고객집단이 존재할 수 있다.

전체 평균만 계산하면 두 고객집단 사이에 실제 수요가 적은 사이즈가 대표값으로 나타날 수 있다. 평균이 실제로 가장 자주 팔리는 제품을 의미하지는 않는다.

여러 개의 봉우리는 고객 세분화, 서로 다른 모집단의 혼합이나 측정환경의 차이를 암시할 수 있다.

집단별 평균을 다시 평균내면 오류가 생길 수 있다

두 강의의 평균 점수가 다음과 같다고 하자.

강의	학생 수	평균 점수
A강의	10명	90점
B강의	90명	70점

두 평균을 단순히 더한 뒤 2로 나누면 다음과 같다.

\[
\frac{90+70}{2}=80
\]

하지만 전체 학생 100명의 평균은 80점이 아니다. 학생 수를 반영한 가중평균을 계산해야 한다.

\[
\bar{x}w=\frac{\sum{i=1}^{k}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{k}w_i}
\]

이 사례에서는 다음과 같다.

\[
\bar{x}_w=\frac{10\times90+90\times70}{10+90}=72
\]

전체 평균은 72점이다.

집단별 표본크기가 다른데도 평균들을 동일한 비중으로 다시 평균내면 전체 평균이 왜곡된다.

이 오류는 다음과 같은 상황에서 자주 발생한다.

학급별 평균점수 통합
지점별 고객만족도 통합
월별 전환율 통합
국가별 평균 통합
부서별 평균 급여 통합

평균을 결합할 때는 각 평균이 몇 개의 관측값을 대표하는지 확인해야 한다.

변화율에는 산술평균이 적절하지 않을 수 있다

투자자산이 첫해에 50% 상승하고 다음 해에 50% 하락했다고 하자.

수익률의 산술평균은 0%다.

\[
\frac{50+(-50)}{2}=0
\]

그러나 100만 원을 투자했다면 첫해 말에는 150만 원이 되고, 다음 해에 50% 하락하면 75만 원이 된다.

\[
100\times1.5\times0.5=75
\]

실제로는 25%의 손실이 발생했다.

성장률이나 수익률처럼 값이 곱셈방식으로 누적될 때는 산술평균보다 기하평균이 적절할 수 있다.

두 기간의 기하평균 수익률은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\[
G=\sqrt{1.5\times0.5}-1
\]

\[
G\approx-0.134
\]

연평균 복리수익률은 약 -13.4%다.

이 사례는 ‘평균’이라는 말만으로 계산방법이 자동으로 결정되지 않는다는 점을 보여준다. 데이터가 어떤 방식으로 누적되는지 먼저 확인해야 한다.

R로 평균·중앙값·최빈값 계산하기

앞에서 사용한 연봉자료를 R로 분석해 보자. 단위는 만 원이다.

salary <- c(
  3000, 3200, 3300, 3400, 3500,
  3600, 3700, 3800, 50000
)

mean(salary)
median(salary)

salary <- c(
  3000, 3200, 3300, 3400, 3500,
  3600, 3700, 3800, 50000
)

mean(salary)
median(salary)

실행 결과는 다음과 같다.

[1] 8833.333
[1] 3500

[1] 8833.333
[1] 3500

평균은 약 8,833만 원이고 중앙값은 3,500만 원이다.

기본적인 요약통계는 summary()로 확인할 수 있다.

summary(salary)

summary(salary)

결과는 다음과 같다.

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
   3000    3300    3500    8833    3700   50000

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
   3000    3300    3500    8833    3700   50000

평균과 중앙값의 차이가 크다는 사실을 확인할 수 있다.

R의 mode 함수는 최빈값 함수가 아니다

R에서 다음 코드를 실행해 보자.

mode(salary)

mode(salary)

결과는 다음과 같다.

[1] "numeric"

[1] "numeric"

이 결과는 최빈값이 숫자라는 뜻이 아니다.

기본 R의 mode() 함수는 객체가 어떤 방식으로 저장되어 있는지를 알려주는 함수다. 통계학에서 말하는 최빈값을 계산하지 않는다.

최빈값을 구하려면 별도의 함수를 만들 수 있다.

find_mode <- function(x, na.rm = TRUE) {
  if (na.rm) {
    x <- x[!is.na(x)]
  }

  if (length(x) == 0L) {
    return(x)
  }

  values <- unique(x)
  counts <- tabulate(match(x, values))

  if (max(counts) == 1L) {
    return(x[0])
  }

  values[counts == max(counts)]
}

find_mode <- function(x, na.rm = TRUE) {
  if (na.rm) {
    x <- x[!is.na(x)]
  }

  if (length(x) == 0L) {
    return(x)
  }

  values <- unique(x)
  counts <- tabulate(match(x, values))

  if (max(counts) == 1L) {
    return(x[0])
  }

  values[counts == max(counts)]
}

신발 사이즈 자료에 적용해 보자.

shoe_size <- c(
  240, 245, 245,
  250, 250, 250,
  255, 255, 260
)

find_mode(shoe_size)

shoe_size <- c(
  240, 245, 245,
  250, 250, 250,
  255, 255, 260
)

find_mode(shoe_size)

결과는 다음과 같다.

[1] 250

[1] 250

최빈값이 여러 개일 때도 모두 반환한다.

x <- c(1, 1, 2, 2, 3)

find_mode(x)

[1] 1 2

x <- c(1, 1, 2, 2, 3)

find_mode(x)

[1] 1 2

모든 값이 한 번씩만 나타나면 길이가 0인 결과가 반환된다.

x <- c(1, 2, 3, 4)

find_mode(x)

numeric(0)

x <- c(1, 2, 3, 4)

find_mode(x)

numeric(0)

이는 고유한 최빈값이 없다는 뜻이다.

이상값이 평균과 중앙값에 미치는 영향 확인하기

ordinary_data <- c(10, 11, 12, 13, 14)
outlier_data <- c(10, 11, 12, 13, 1000)

result <- data.frame(
  data = c("일반 자료", "극단값 포함"),
  mean = c(
    mean(ordinary_data),
    mean(outlier_data)
  ),
  median = c(
    median(ordinary_data),
    median(outlier_data)
  )
)

result

ordinary_data <- c(10, 11, 12, 13, 14)
outlier_data <- c(10, 11, 12, 13, 1000)

result <- data.frame(
  data = c("일반 자료", "극단값 포함"),
  mean = c(
    mean(ordinary_data),
    mean(outlier_data)
  ),
  median = c(
    median(ordinary_data),
    median(outlier_data)
  )
)

result

결과는 다음과 같다.

          data  mean median
1    일반 자료  12.0     12
2 극단값 포함 209.2     12

          data  mean median
1    일반 자료  12.0     12
2 극단값 포함 209.2     12

극단값 하나가 평균을 크게 변화시켰지만 중앙값은 변하지 않았다.

중앙값과 사분위범위 계산하기

median(salary)

quantile(
  salary,
  probs = c(0.25, 0.50, 0.75),
  na.rm = TRUE
)

IQR(salary, na.rm = TRUE)

median(salary)

quantile(
  salary,
  probs = c(0.25, 0.50, 0.75),
  na.rm = TRUE
)

IQR(salary, na.rm = TRUE)

quantile()은 제1사분위수, 중앙값과 제3사분위수를 계산한다. IQR()은 제3사분위수에서 제1사분위수를 뺀 사분위범위를 계산한다.

R의 기본 분위수 계산방식은 type = 7이다. 다른 통계 프로그램과 결과가 조금 다르다면 사용한 분위수 계산방식을 확인할 필요가 있다(Hyndman & Fan, 1996).

절사평균 계산하기

평균과 중앙값 사이의 대안으로 절사평균을 사용할 수 있다.

mean(salary, trim = 0.20)

mean(salary, trim = 0.20)

trim = 0.20은 정렬된 자료의 양쪽 끝에서 각각 20%를 제외한 뒤 평균을 계산한다는 뜻이다.

절사평균은 일반 평균보다 극단값에 덜 민감하면서도 중앙값보다 많은 수치정보를 사용한다. 다만 보고서에서는 몇 퍼센트를 절사했는지 반드시 밝혀야 한다(Huber & Ronchetti, 2009).

가중평균 계산하기

class_size <- c(10, 90)
class_mean <- c(90, 70)

mean(class_mean)

weighted.mean(
  x = class_mean,
  w = class_size
)

class_size <- c(10, 90)
class_mean <- c(90, 70)

mean(class_mean)

weighted.mean(
  x = class_mean,
  w = class_size
)

결과는 다음과 같다.

[1] 80
[1] 72

[1] 80
[1] 72

집단의 크기를 무시한 단순평균은 80점이지만 전체 학생 수를 반영한 가중평균은 72점이다.

히스토그램과 상자그림 확인하기

대표값을 계산한 뒤에는 분포를 시각적으로 확인하는 것이 좋다.

hist(
  salary,
  main = "직원 연봉 분포",
  xlab = "연봉(만 원)"
)

hist(
  salary,
  main = "직원 연봉 분포",
  xlab = "연봉(만 원)"
)

상자그림은 중앙값, 사분위수와 극단값 후보를 함께 보여준다.

boxplot(
  salary,
  horizontal = TRUE,
  main = "직원 연봉 상자그림",
  xlab = "연봉(만 원)"
)

boxplot(
  salary,
  horizontal = TRUE,
  main = "직원 연봉 상자그림",
  xlab = "연봉(만 원)"
)

평균과 중앙값만 계산하는 것보다 그래프를 함께 보면 자료의 비대칭성과 극단값을 쉽게 확인할 수 있다.

보고서에서는 어떻게 작성해야 할까

대표값은 숫자만 제시하기보다 산포와 선택 이유를 함께 설명하는 것이 좋다.

자료가 비교적 대칭적이라면 다음처럼 작성할 수 있다.

시험 점수의 평균은 78.4점이었고 표준편차는 6.2점이었다.

자료가 오른쪽으로 심하게 치우쳐 있다면 다음과 같이 쓸 수 있다.

월 구매금액의 중앙값은 4만 2,000원이었고, 제1사분위수와 제3사분위수는 각각 2만 8,000원과 7만 5,000원이었다.

범주형 자료라면 최빈값뿐 아니라 빈도와 비율을 함께 제시해야 한다.

가장 많이 사용된 결제수단은 카드였으며, 전체 500건 가운데 310건으로 62%를 차지했다.

평균과 중앙값의 차이가 크다면 두 값을 함께 제시하는 것이 좋다.

평균 진료비는 84만 원이었으나 중앙값은 31만 원이었다. 일부 고액 진료 사례로 인해 비용분포가 오른쪽으로 치우쳐 있었다.

이러한 표현은 대표값의 차이를 숨기지 않고 데이터의 분포까지 독자에게 전달한다.

평균·중앙값·최빈값에서 자주 발생하는 오류

평균을 전형적인 개인의 값으로 해석한다

평균 연봉이 8,000만 원이라고 해서 대부분의 직원이 8,000만 원을 받는 것은 아니다.

자료가 심하게 치우쳐 있으면 실제 관측값 가운데 평균과 비슷한 값이 하나도 없을 수 있다.

중앙값을 전체 규모의 대표값으로 사용한다

중앙값은 전형적인 위치를 보여주지만 총비용이나 총수요와 직접 연결되지 않는다.

전체 예산을 계산하려면 평균이나 실제 합계가 필요하다.

최빈값이 항상 하나라고 생각한다

최빈값은 여러 개일 수 있고 고유한 최빈값이 없을 수도 있다.

연속형 자료에서는 측정단위와 히스토그램의 구간설정에 따라 최빈값이 달라질 수 있다.

평균은 정규분포에서만 계산할 수 있다고 생각한다

평균 계산에 정규성은 필요하지 않다.

다만 평균이 데이터의 중심을 잘 나타내는지, 평균에 기반한 추론방법이 적절한지는 별도로 검토해야 한다.

중앙값은 극단값의 영향을 전혀 받지 않는다고 생각한다

중앙값은 일부 극단값의 크기 변화에 둔감하지만 표본의 절반 이상이 변하거나 관측값의 순서가 달라지면 중앙값도 달라진다.

중앙값이 극단값을 완전히 무시하는 통계량은 아니다.

집단별 평균을 단순하게 다시 평균낸다

집단의 크기가 다르면 가중평균을 사용해야 한다.

각 집단의 표본크기를 무시하면 전체 평균이 왜곡될 수 있다.

대표값 하나만 제시한다

평균, 중앙값 또는 최빈값 하나만으로는 자료의 퍼짐, 비대칭, 극단값과 여러 봉우리의 존재를 알 수 없다.

산포지표와 그래프를 함께 제시해야 한다.

대표값을 선택하기 전에 확인할 질문

변수는 수치형인가, 서열형인가, 명목형인가?
자료의 분포는 대칭적인가?
한쪽으로 긴 꼬리가 존재하는가?
극단값이 존재하는가?
전체 합계나 총비용이 중요한가?
전형적인 관측대상의 위치가 중요한가?
가장 자주 나타나는 범주가 중요한가?
분포에 봉우리가 여러 개 존재하는가?
집단별 표본크기가 서로 다른가?
대표값과 함께 어떤 산포지표를 제시할 것인가?
평균과 중앙값의 차이가 큰 이유를 설명할 수 있는가?
그래프에서 자료의 분포를 확인했는가?

대표값은 계산하기 쉬운 통계량을 선택하는 문제가 아니다. 연구 질문에 가장 적절한 중심을 선택하는 문제다.

데이터의 중심은 하나가 아닙니다

평균, 중앙값과 최빈값은 모두 데이터를 간결하게 요약한다. 그러나 서로 다른 방식으로 중심을 정의한다.

평균은 모든 관측값의 크기를 반영한다. 전체 합계와 연결되며 제곱거리의 합을 최소화하는 중심이다.

중앙값은 자료를 순서대로 세웠을 때 한가운데에 위치한다. 극단값에 상대적으로 덜 민감하며 전형적인 관측대상의 위치를 설명하는 데 유용하다.

최빈값은 가장 자주 나타난 값을 보여준다. 명목형 자료에도 적용할 수 있으며 가장 흔한 선택이나 규격을 찾는 데 유용하다.

비전공자는 다음 세 문장으로 기억하면 된다.

모든 값을 합쳐 공평하게 나누려면 평균을 본다.

순서상 가운데 있는 대상을 알고 싶다면 중앙값을 본다.

가장 자주 나타난 선택을 알고 싶다면 최빈값을 본다.

그리고 세 대표값이 크게 다르다면 어떤 숫자를 선택할지 서두르지 말아야 한다.

평균과 중앙값이 크게 다르다는 사실 자체가 자료가 한쪽으로 치우쳐 있거나 극단값이 존재한다는 중요한 신호일 수 있다. 최빈값이 여러 개라면 서로 다른 집단이 자료 안에 섞여 있을 가능성도 있다.

좋은 통계 해석은 대표값 하나를 계산하는 데서 끝나지 않는다. 그 대표값이 어떤 중심을 나타내고, 무엇을 잘 보여주며, 어떤 정보를 숨길 수 있는지를 함께 설명하는 데서 완성된다.

참고문헌

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Hyndman, R. J., & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365. https://doi.org/10.1080/00031305.1996.10473566

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Wasserman, L. (2004). All of statistics: A concise course in statistical inference. Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21736-9

중심경향은 데이터를 하나의 값으로 요약한다

평균은 모든 관측값을 반영한다

평균은 자료의 균형점이다

평균은 제곱거리의 합을 가장 작게 만든다

평균을 알면 전체 합계를 계산할 수 있다

중앙값은 순서상의 한가운데를 나타낸다

중앙값은 자료를 절반으로 나눈다

중앙값은 절댓값 거리의 합을 가장 작게 만든다

최빈값은 가장 자주 나타난 값이다

최빈값은 여러 개일 수 있다

연속형 자료의 최빈값은 측정단위에 따라 달라질 수 있다

같은 자료에서도 세 대표값은 다르게 나타난다

이상값은 평균과 중앙값에 다르게 작용한다

극단값은 무조건 삭제하면 안 된다

중앙값도 자료의 모든 특징을 보여주지는 않는다

분포의 모양에 따라 대표값의 관계가 달라진다

대칭적인 분포

오른쪽으로 치우친 분포

왼쪽으로 치우친 분포

평균은 정규분포에서만 사용할 수 있는가

평균과 중앙값 가운데 무엇을 선택해야 할까

평균이 유용한 경우

중앙값이 유용한 경우

최빈값이 유용한 경우

대표값은 산포와 함께 제시해야 한다

최빈값 하나만 보고 시장을 판단하면 안 된다

집단별 평균을 다시 평균내면 오류가 생길 수 있다

변화율에는 산술평균이 적절하지 않을 수 있다

R로 평균·중앙값·최빈값 계산하기

R의 mode 함수는 최빈값 함수가 아니다

이상값이 평균과 중앙값에 미치는 영향 확인하기

중앙값과 사분위범위 계산하기

절사평균 계산하기

가중평균 계산하기

히스토그램과 상자그림 확인하기

보고서에서는 어떻게 작성해야 할까

평균·중앙값·최빈값에서 자주 발생하는 오류

평균을 전형적인 개인의 값으로 해석한다

중앙값을 전체 규모의 대표값으로 사용한다

최빈값이 항상 하나라고 생각한다

평균은 정규분포에서만 계산할 수 있다고 생각한다

중앙값은 극단값의 영향을 전혀 받지 않는다고 생각한다

집단별 평균을 단순하게 다시 평균낸다

대표값 하나만 제시한다

대표값을 선택하기 전에 확인할 질문

데이터의 중심은 하나가 아닙니다

참고문헌

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